Kalkulus - Fungsi

Sebagai penyelesaian tugas untuk Mata Kuliah Kalkulus I, di sini kami akan coba untuk sharing tentang bahasan Fungsi.

Seperti dalam penjelasan dosen kami (Pak Suwarto), Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota $x$ dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal $f(x)$ dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil (Range).

Salah satu sifat yang dapat kami ambil kesimpulannya dari penjelasan dosen kami tentang fungsi adalah setiap anggota Domain hanya boleh memasangkan (memiliki relasi) terhadap 1 anggota Kodomain, tetapi 1 anggota Kodomain dapat dipasangkan lebih dari 1 anggota Domain. Layaknya 1 peluru yang hanya bisa ditembakkan pada 1 target, tetapi 1 target dapat dikenai lebih dari 1 peluru.

Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:

• Domain yaitu daerah asal fungsi $f$ dilambangkan dengan $Df$.
• Kodomain yaitu daerah kawan fungsi $f$ dilambangkan dengan $Df$
• Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi $f$ dilambangkan dengan $Rf$

Contoh, fungsi $f(x) = 3x + 2$ menjelaskan pada kita bahwa:

• Fungsi $f$ adalah fungsi dari $x$
• Untuk menghitung nilai fungsi pada angka tertentu, maka ganti $x$ dengan angka tersebut.
•  $f$ sendiri didefinisikan sebagai, “pada suatu angka tertentu, $f$ akan menghasilkan dua lebihnya dari tiga kali angka tersebut”.

Sebagai contoh, jika kita memasukkan angka 3 dalam fungsi $f$ :

$f(x) = 3x + 2$

$f(3) = 3(3) + 2$ Kita menghitung fungsi saat $x = 3$

$f(3) = 9 + 2 = 11$ Maka nilai dari $f$ pada $x = 3$  adalah $11$.



Berikutnya kami akan coba sharing tentang macam-macam Fungsi.

1. Fungsi Aljabar, yaitu fungsi yang menggunakan operasi-operasi penjumlahan,pengurangan,perkalian,pembagian, dan penarikan akar. Dan Fungsi Aljabar terbagi menjadi 2, yaitu:

• Fungsi Irasional, yaitu fungsi yang variabel bebasnya terdapat dibawah tanda akar. Misal $f(x) = \sqrt x$ , $g(x) = \sqrt {x + 1 + 3}$
• Fungsi Rasional, yaitu fungsi yang variable bebasnya berpangkat bilangan bulat. Fungsi rasional meliputi fungsi:
• Fungsi polinom (suku banyak) memiliki bentuk $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$  dengan  $a_{n}, a_{n-1}, ..., a_{2}, a_{1}, a_{0}$ adalah bilangan real $a_{n}\neq 0 , a_{0}=$ konstanta dan n bilangan bulat. Fungsi polinom berderajat n misalkan $f(x)=2x^{3}+4x^{2}+6x-5$
• Fungsi kubik, yaitu fungsi yang berpangkat 3. Misalkan $f(x)=x^{3}$ adalah fungsi kubik yang paling sederhana.
• Fungsi kuadrat, suatu fungsi yang berbentuk $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , Dengan a,b,c konstanta dan $a\neq 0$. Dimana grafiknya berbetuk Parabola, domain fungsi ini adalah $D_{f}=R$ .
• Fungsi linear,suatu fungsi yang ditentukan oleh $f(x)=ax+b$ , Dengan a dan b konstanta dan $a\neq 0$. Kurva fungsi linear adalah Garis $y=ax+b$ yang selalu melalui titik $(0,b)$ dan $(a/b,0)$.
• Fungsi pangkat, dinyatakan dengan $y=f(x)=x^{n}$ dengan $n$ Bilangan asli. Jika $n = 2 \to$ grafiknya berbentuk parabola. Jika $n = 3 \to$ grafiknya berbebtuk parabola kubik. Jika $n = 4 \to$ grafiknya berbebtuk parabola kuadrat. bentuk umum dari fungsi pangkat $y=f(x)=x^{n}, y=f(x)=ax^{n}$.
• Fungsi pecahan,yaitu suatu hasil fungsi-fungsi polinom. Bentuk umum fungsi pecahan $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ , $f(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}$ dengan $a_{n}\neq 0 ; b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0}\neq 0 ; n \in$ bilangan asli.

2. Fungsi Transenden, yaitu fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar. Contoh :

    a. Fungsi eksponen, fungsi yang variable bebasnya menjadi pangkat dari suatu bilangan. Bentuk umum $y=f(x)=a^{x}$ , dengan $a\neq 0, a\neq 1$ dan $a\epsilon R$.
    b. Fungsi logaritma, dengan bilangan pokok $a \gt 0$ dan $a\neq 0$ adalah invers dari fungsi eksponen dengan bilangan pokok a. Fungsi eksponen $y=g(x)=a^{x}$ , inversnya adalah fungsi logaritma $y = f(x){ = ^a}\log x$ ; $a \gt 0$ , $a\neq 1$ , $x \gt; 0$ .
    c. Fungsi trigonometri, yaitu fungsi yang meliputi $f(x)=\sin x , f(x)=\cos x , f(x)=\tan x$ dimana $x$ menyatakan besar suatu sudut (radian atau drajat).
    d. Fungsi siklometri, yaitu invers dari fungsi trigonometri, seperti $f(x)=\arcsin x , f(x)=\arccos x , f(x)=\arctan x$ .
Catatan : $\sin \frac{1}{2}$ dapat ditulis $\arcsin \frac{1}{2}$.
    e. Fungsi hiperbolik, yang meliputi : $f(x)=\sinh x=e^{x}-e^{-x} , f(x)=\cosh x=e^{x}-e^{-x}$.
Catatan : $e=2,71828$


3. Fungsi Khusus
    Contoh
    a. Fungsi Konstan, adalah fungsi $f$ yang dinyatakan dalam rumus $f(x) = c$ , dengan $c$ suatu konstanta. Fungsi konstan $f$ memasangkan setiap bilangan real dengan konstanta $c$.
    b. Fungsi Identitas, Fungsi $I:A \to A$ yang ditentukan oleh $I(x)$ disebut Fungsi Identitas pada A. Fungsi $I$ memasangkan setiap elemen daerah asal dengan dirinya sendiri.
Contoh : garis $y = x$ yang melalui titik pangkal $O(0,0)$ 
    c. Fungsi Modulus, fungsi $f:x \to \left| x \right|$ atau $f(x)$ yang ditentukan oleh :
$f(x) = \left| x \right| =$ $x$ , jika $x \ge 0$
                   $-x$ , jika $x \lt 0$
Contoh : modulus $y = \left| x \right|$
    d. Fungsi Parameter, fungsi dengan parameter diantaranya adalah $x = at + b$ , $y = 2{t^2} + c$ , dengan $t$ adalah parameter yang menetapkan fungsi itu.


4. Fungsi Genap dan Ganjil
    a. Fungsi Genap, jika $f( - x) = f(x)$ , maka grafik tersebut simetri terhadap sumbu $y$ .
Fungsi yang demikian disebut Fungsi Genap.
    b. Fungsi Ganjil, jika $f( - x) = f(-x)$ , maka grafik tersebut simetri terhadap titik asal $O(0,0)$. Fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil.
    c. Bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil, jika $f( - x) \ne f(x)$ dan $f( - x) \ne f(-x)$, maka grafiknya tidak simetri terhadap titik asal.


5. Fungsi Periodik, fungsi $f$ dengan domain $R$ dikatakan fungsi periodik apabila terdapat bilangan $k \ne 0$ , sehingga $f(x + k) = f(x)$ , dengan $x \in R$ . Bilangan positif $k$ yang terkecil yang memenuhi $f(x + k) = f(x)$ disebut periode dasar fungsi itu.




Untuk selanjutnya kami akan coba membahas tentang Operasi Fungsi.

Fungsi bukanlah bilangan. Tetapi seperti halnya dua bilangan $a$ dan $b$ dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru  $a + b$,  demikian juga dua fungsi $f$ dan $g$ dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru $f + g$ . Ini baru salah satu dari beberapa operasi pada fungsi yang akan kami bahas.

Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, Pangkat

Coba lihat fungsi-fungsi $f$ dan $g$ dengan rumus-rumus ;
$f(x) = \frac{{x - 3}}{2}$                               $g(x) = \sqrt x$
Kita dapat membuat suatu fungsi baru $f + g$ dengan cara memberikan pada $x$ nilai : $\frac{{x - 3}}{2} + \sqrt x$ , yakni              $(f + g)(x) = f(x) + g(x) = \frac{{x - 3}}{2} + \sqrt x$ .

Tentu saja kita harus sedikit hati-hati mengenai daerah asal. Jelas $x$  harus berupa sebuah bilangan pada mana $f$ maupun $g$  berlaku. Dengan perkataan lain, daerah asal $f + g$ adalah irisan (bagian bersama) dari daerah asal $f$ dan $g$.

Fungsi-fungsi $f - g$ , $f \times g$ dan $f \div g$ diperkenalkan dengan cara yang analog. Dengan anggapan bahwa $f$ dan $g$ mempunyai daerah asal mula, kita mempunyai yang berikut.

                Rumus                                                       daerah asal
$(f + g)(x) = f(x) + g(x) = \frac{{x - 3}}{2} + \sqrt x$                    $(0,\infty )$
$(f - g)(x) = f(x) - g(x) = \frac{{x - 3}}{2} - \sqrt x$                    $(0,\infty )$
$(f \times g)(x) = f(x) \times g(x) = \frac{{x - 3}}{2} \times \sqrt x$                    $(0,\infty )$
$(\frac{f}{g})(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{x - 3}}{{2\sqrt x }}$                                                 $(0,\infty )$

Kita harus mengecualikan nol dari daerah asal $f$ atau $g$ untuk menghindari pembagian oleh $0$.

Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsi. Dengan ${f^n}$, kita maksudkan fungsi yang memberikan nilai ${[f(x)]^n}$ pada $x$ . Jadi :
${f^2}(x) = {[f(x)]^2} = {\left( {\frac{{x - 3}}{2}} \right)^2} = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{4}$    dan ${g^3}(x) = {[g(x)]^3} = {(\sqrt x )^3} = {x^{3/2}}$

Ada pengecualian pada aturan ini, yaitu untuk $n =  - 1$. Simbol ${f^{ - 1}}$ kita cadangkan untuk keperluan lainnya (fungsi invers) yang akan kami bahas selanjutnya. Jadi, ${f^{ - 1}}$ bukan berarti $\frac{1}{f}$.

Contoh
Andaikan $f(x) = \sqrt[4]{{x + 1}}$ dan $g(x) = \sqrt[2]{{9 - {x^2}}}$ dengan masing-masing daerah asal natural $\left[ { - 1,\infty } \right]$ dan $\left[ { - 3,3} \right]$. Carilah rumus untuk : $f + g$, $f - g$, $f \times g$, $f \div g$ dan ${f^5}$ serta berikan daerah asal naturalnya.
Penyelesaian :
                Rumus                                                             daerah asal

$(f + g)(x) = f(x) + g(x) = \sqrt[4]{{x + 1}} + \sqrt[2]{{9 - {x^2}}}$            $\left[ { - 1,3} \right]$

$(f - g)(x) = f(x) - g(x) = \sqrt[4]{{x + 1}} - \sqrt[2]{{9 - {x^2}}}$            $\left[ { - 1,3} \right]$

$(f \times g)(x) = f(x) \times g(x) = \sqrt[4]{{x + 1}} \times \sqrt[2]{{9 - {x^2}}}$            $\left[ { - 1,3} \right]$

$\left( {\frac{f}{g}} \right)(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\sqrt[4]{{x + 1}}}}{{\sqrt[2]{{9 - {x^2}}}}}$                                                $\left[ { - 1,3} \right]$

${f^5}(x) = {\left[ {f(x)} \right]^5} = {(\sqrt[4]{{x + 1}})^5}$                                         $\left[ { - 1,\infty } \right]$

Seperti pada pembahasan sebelumnya, kami telah sedikit menyinggung tentang Invers Fungsi, kali ini kami akan coba sharing tentang materi tersebut.

Jika $f$ adalah fungsi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$, maka invers fungsi $f$ adalah fungsi dari himpunan $B$ ke himpunan $A$.

Jika sebuah input $x$ dimasukkan ke dalam fungsi $f$ menghasilkan sebuah output $y$, $y$ kemudian dimasukkan ke dalam fungsi invers ${f^{ - 1}}$ menghasilkan output $x$.
$f$ adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan $X$, dan kodomainnya adalah himpunan $Y.$ Kemudian, jika ada kebalikan dari fungsi $f$ adalah ${f^{ - 1}}$ dengan domain $Y$ dan kodomain $X$, dengan aturan.
             Jika $f(x) = y$, maka ${f^{ - 1}}(y) = x$
Tidak semua fungsi mempunyai invers. Tetapi, fungsi yang tidak mempunyai invers itu akan mempunyai invers jika kita membatasi himpunan nilai-nilai $X$-nya. Fungsi yang mempunyai invers adalah fungsi bijektif, yaitu:
Jika setiap anggota himpunan $B$ mempunyai tepat satu kawan di $A$ maka $f$ disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif. Sehingga sering dinyatakan sebagai "sebuah fungsi bijective jika dan hanya jika memiliki fungsi invers".

Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk ${f^{ - 1}}(x)$ untuk melakukan itu, kita tentukan terlebih dahulu ${f^{ - 1}}(y)$, kemudian kita menukarkan $x$ dan $y$ dalam rumus yang dihasilkan. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian ${f^{ - 1}}(x)$
   1. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan $y = f(x)$ untuk $x$ dalam bentuk $y$.
   2. Langkah 2 : Gunakan ${f^{ - 1}}(y)$ untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam $y$.
   3. Langkah 3 : Gantilah $y$ dengan $x$.
Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan $x$ dan $y$. Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa menukar peranan $x$ dan $y$ pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis $y = x$. Jadi, grafik $y = {f^{ - 1}}(x)$ adalah gambar cermin grafik $y = f(x)$ terhadap garis $y = x$.

Contoh Soal :

Carilah invers dari $y =  - \frac{1}{{x - 3}}$

Jawab:

Langkah 1 : menyelesaikan persamaan $y = f(x)$ untuk $x$ dalam bentuk $y$.

$y =  - \frac{1}{{x - 3}}$

$x - 3 =  - \frac{1}{y}$

$x =  - \frac{1}{y} + 3$

Langkah 2 : menggunakan ${f^{ - 1}}(y)$ untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam $y$

${f^{ - 1}}(y) =  - \frac{1}{y} + 3$

Langkah 3 : mengganti $y$ dengan $x$ .

${f^{ - 1}}(x) =  - \frac{1}{x} + 3$

Selanjutnya kita akan membahas Keberadaan Invers Fungsi.

        Teorema

      Jika $f$ monoton murni pada daerah asalnya, maka $f$ memiliki invers.

Misalkan $f(x)$ terdefinisi pada suatu himpunan $(R)$. Untuk semua ${x_1},{x_2} \in R$, fungsi $f(x)$ dikatakan:

• monoton naik, jika ${x_1} \lt {x_2}$ maka $f({x_1}) \lt f({x_2})$
• monoton turun, jika untuk ${x_1} \lt {x_2}$ maka $f({x_1}) \gt f({x_2})$
• monoton tak naik, jika untuk ${x_1} \lt {x_2}$ maka $f({x_1}) \ge f({x_2})$
• monoton tak turun, jika untuk ${x_1} \lt {x_2}$ maka $f({x_1}) \lt f({x_2})$
• monoton datar, jika untuk ${x_1} \ne {x_2}$ maka  $$f({x_1}) = f({x_2})$$

Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik.

Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun.
Monoton naik jika ${x_1} \lt {x_2}$ maka $f({x_1}) \lt f({x_2})$ .
Monoton turun jika ${x_1} \lt {x_2}$ maka $f({x_1}) \gt f({x_2})$ .
Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers.
Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk ${x_1} \lt {x_2}$ maka berlaku $f({x_1}) \lt f({x_2})$ untuk setiap ${x_1},{x_2}$ pada daerah asalnya.
Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika ${x_1} \ne {x_2}$ maka berlaku $f({x_1}) \ne f({x_2})$ untuk setiap ${x_1},{x_2}$ pada daerah asalnya.

Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.

Untuk pembuktian teoremanya. Jika $f$ monoton murni pada daerah asalnya, maka $f$ memiliki invers

Kita ambil $f:A \to B$
     Jika $f$ monoton murni maka $f$ satu-satu dan onto

Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik.

Bukti untuk $f$ satu-satu.
Diketahui $f$ monoton naik $\leftrightarrow {x_1} \lt {x_2} \to f({x_1}) \lt ({x_2})$
Dengan kata lain : ${x_1} \ne {x_2} \to f({x_1}) \ne ({x_2})$
Terbukti $f$ satu-satu.

Bukti untuk onto

Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya.

Onto artinya $f(A) = B$, yang ekuivalen dengan $f(A) \subseteq B$ dan $B \subseteq f(A)$
Untuk $f(A) \subseteq B$ sudah sangat jelas.
Sekarang akan dibuktikan untuk $B \subseteq f(A)$
Andaikan
$\exists b \in B$ 𝑑𝑎𝑛 $b \notin f(A)$
Maka $\exists {x_1},{x_2} \in A$, ∋ $f({x_1}) \lt b \lt f({x_2})$
Untuk $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} x = c = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} x$ , ${x_1} \ne c \ne {x_2}$
Maka $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} xf(x) = f(c)$
Menurut teorema apit $f(c) \lt b \lt f(c)$ maka haruslah $f(c) = b$
$\therefore \exists c \in A$ ∋ $\therefore \exists c \in A$
$\therefore b \in f(A)$
Kontradiksi bahwa $b \notin f(A)$

Jadi, $f$ adalah Onto.

Contoh soal
Perlihatkan bahwa $f$ memiliki invers. Untuk $f(x) = 2{x^7} - {x^5} + 12x$.

Jawab :
Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu
$f'(x) = 14{x^6} - 5{x^4} + 12$
Dimana nilai $f'(x)$ selalu lebih besar nol untuk setiap $x$.
$f'(x) = 14{x^6} - 5{x^4} + 12 \gt 0$ untuk semua $x$

Jadi $f$ naik pada seluruh garis real.
sehingga $f$ memiliki balikan di sana.


Kita tidak selalu dapat memberikan rumus sederhana untuk ${f^{ - 1}}$


Setelah membahas Keberadaan Invers Fungsi, kali ini kita akan melanjutkan ke Turunan Invers Fungsi.
Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni.

    Teorema
"Andaikan $f$ terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang $I$. Jika $f'(x) \ne 0$ di suatu $x$ tertentu dalam $I$. Maka ${f^{ - 1}}$ terdiferensiasikan di titik yang berpadanan $y = f(x)$ dalam daerah hasil $f$ dan $({f^{ - 1}})'(y) = \frac{1}{{f'(x)}}$"

Bukti resmi teorema
Interval $\left[ {p,q} \right] \subseteq R$, dan $f:\left[ {p,q} \right] \to R$ , fungsi monoton murni dan kontinu pada $\left[ {p,q} \right]$.
$\left[ {r,s} \right] = f([p,q])$ dan $g:[r,s] \to R$ invers fungsi $f$ yang monoton murni dan kontinu.
Fungsi $f$ terdiferensial di titik $a \in [p,q]$ dan $f'(a) \ne 0$.
Fungsi $g$ terdiferensial di titik $b = f(a)$
lebih lanjut,

$g'(b) = \frac{1}{{f'(a)}} = \frac{1}{{f'(g(b))}}$

Ambil sembarang $y \in [r,s]$ dengan $y \ne b$, selanjutnya didefinisikan fungsi $H:[r,s] \to R$ dengan

$H(y) = \frac{{f(g(y)) - f(g(b))}}{{g(y) - g(b)}}$

Diketahui $g$ monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap $y \in [r,s]$ dengan $y \ne b$, maka $g(y) \ne g(b)$ . dengan kata lain $H:[r,s] \to R$, well define. Demikian halnya jika $y = f(g(y))$ dan $b = f(g(b))$ maka berdasarkan definisi fungsi $H$ diperoleh

$H(y) = \frac{{y - b}}{{g(y) - g(b)}}$

Mudah dipahami bahwa untuk setiap $y \in [r,s]$ dengan $y \ne b$, maka $H(y) \ne 0$. Selanjutnya dibuktikan bahwa

$\mathop {\lim }\limits_{y \to b} H(y) = f'(a)$

Diberikan bilangan $\varepsilon  \gt 0$ dan jika $f$ terdiferensial di $a = g(b)$, maka terdapat bilangan $\delta  \gt 0$ sehingga untuk setiap $x \in [a,b]$ dengan sifat $0 \lt \left| {x - a} \right| \lt \delta$ berlaku

$\left| {\frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} - f'(a)} \right| \le \varepsilon$

Diketahui $g$ kontinu di titik $b = f'(a)$, artinya untuk setiap bilangan $\delta  \gt 0$ terdapat bilangan $\eta  \gt 0$ sehingga untuk setiap $y \in [r,s]$ dengan $0 \lt \left| {y - b} \right| \lt \eta$ , maka berlaku

$\left| {g(y) - g(b)} \right| \lt \delta$

Karena $g$ fungsi invers dari $f$, maka $g$ bijektif, dengan kata lain $g$ injektif dan surjektif. $g$ injektif dan $a = g(b)$, maka diperoleh; jika $0 \lt \left| {y - b} \right| \lt \eta$ maka $\left| {g(y) - g(b)} \right| = \left| {g(y) - a} \right| \lt \delta$ untuk setiap $y \in [r,s]$
Oleh karena itu untuk setiap $y \in [r,s]$ dengan $0 \lt \left| {y - b} \right| \lt \eta$ berakibat

$\left| {H(y) - f'(a)} \right| = \left| {\frac{{f(g(y)) - f(g(b))}}{{g(y) - g(b)}} - f'(a)} \right| \let\varepsilon$

Untuk sembarang $\varepsilon  \gt 0$. Jadi $\mathop {\lim }\limits_{y \to b} H(y) = f'(a)$

Perhatikan bahwa karena $y \ne b$ maka $H(y) = \frac{{y - b}}{{g(y) - g(b)}} \ne 0$ , sehingga diperoleh $\frac{{g(y) - g(b)}}{{y - b}} = \frac{1}{{H(y)}}$
Dapat disimpulkan, untuk setiap $y \in [r,s]$ dengan $y \ne b$, berlaku

$g'(b) = \mathop {\lim }\limits_{y \to b} \frac{{g(y) - g(b)}}{{y - b}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to b} \frac{1}{{H(y)}} = \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{y \to b} H(y)}} = \frac{1}{{f'(a)}}$

Terbukti

$g'(b) = \frac{1}{{f'(a)}} = \frac{1}{{f'(g(b))}}$

Contoh soal :

Carilah $({f^{ - 1}})'(2)$ jika diketahui $f(x) = \sqrt {x + 1}$ 

Jawab:

Kita akan mencari nilai $x$ yang berpadanan dengan $y = 2$

$f(x) = \sqrt {x + 1}$

$y = \sqrt {x + 1}$

$2 = \sqrt {x + 1}$

$4 = x + 1$

$x = 3$

Kemudian kita cari $f'(x)$

$f(x) = \sqrt {x + 1}$

$f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}$

$f'(3) = \frac{1}{{2\sqrt {3 + 1} }}$

$f'(3) = \frac{1}{4}$

Kita selesaikan dengan menggunakan teorema $({f^{ - 1}})'(y) = \frac{1}{{f'(x)}}$
$({f^{ - 1}})'(2) = \frac{1}{{f'(3)}}$
$({f^{ - 1}})'(2) = \frac{1}{{\frac{1}{4}}}$
$({f^{ - 1}})'(2) = 4$

Bagaimana jika kita menyelesaikannya dengan cara mencari inversnya kemudian kita turunkan?
$f(x) = \sqrt {x + 1}$     $Df = [ - 1,\infty ]$   $Rf = [0,\infty ]$
$({f^{ - 1}})(x) = {x^2} + 1$     $Df = [ 0,\infty ]$   $Rf = [ - 1,\infty ]$
$({f^{ - 1}})'(x) = 2x$
$({f^{ - 1}})'(2) = 4$
Hasilnya sama.



Mengapa $f'(a) \ne 0$ ?. Syarat $f'(a) \ne 0$ sangatlah penting . Apabila $f'(a) \ne 0$ maka fungsi invers $g$ tidak terdiferensial di $b = f(a)$ . Artinya, jika $g$ terdiferensial di titik $b = f(a)$ dan jika $f$ invers fungsi $g$, maka dapat diterapkan teorema tersebut pada fungsi $g$ untuk dapat menyimpulkan bahwa fungsi $f$ terdiferensial di titik $a = g(b)$ dan diperoleh

$g'(b) = \frac{1}{{f'(a)}} \leftrightarrow 1 = g'(b) \times f'(a) = 0$

Terjadi kontradiksi, oleh karena itu $g$ tak terdiferensial di titik $b = f(a)$ .

Lebih jelas terlihat jika kita masukkan $f'(a) = 0$ ke dalam $g'(b) = \frac{1}{{f'(a)}}$
Diperoleh $g'(b) = \frac{1}{0}$

Contoh
Diberikan fungsi bernilai real $f$ yang didefinisikan dengan

$f(x) = {x^3}$ , $\forall x \in R$

Diperoleh ${f^{ - 1}}(x) = \frac{1}{{{x^3}}}$  ,  $\forall x \in R$  ,  $f'(x) = 3{x^2}$  ,  dan  $({f^{ - 1}})'(x) = g'(x) = \frac{{{x^{\frac{{ - 2}}{3}}}}}{3}$
Ambil titik $= 0$ , diperoleh $b = f(a) = 0$ dan $f'(a) = 0$.
Dengan demikian $1 = g'(b) \times f'(a) = 0$

Terjadi kontradiksi, sehinggga dapat disimpulkan bahwa ${f^{ - 1}}(x) = \frac{1}{{{x^3}}}$  ,  $\forall x \in R$ tidak terdiferensial di $0$




Suatu fungsi dapat diperbanyak. Salah satunya dengan cara membalikkannya (inversnya). Langkah-langkah untuk membalikkan suatu fungsi yaitu :
1. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan $y = f(x)$ untuk $x$ dalam bentuk $y$.
2. Langkah 2 : Gunakan ${f^{ - 1}}(y)$ untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam $y$.
3. Langkah 3 : Gantilah $y$ dengan $x$.

Sehingga fungsi tersebut akan semakin banyak. Dengan banyaknya fungsi-fungsi yang kita punya. Dan untuk mencari turunan suatu invers. Kita mempunyai teorema. Dengan adanya teorema turunan invers fungsi. Yaitu :
    Teorema
"Andaikan $f$ terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang $I$. Jika $f'(x) \ne 0$ di suatu $x$ tertentu dalam $I$. Maka ${f^{ - 1}}$ terdiferensiasikan di titik yang berpadanan $y = f(x)$ dalam daerah hasil $f$ dan $({f^{ - 1}})'(y) = \frac{1}{{f'(x)}}$"

itu akan sangat membantu kita untuk mendapatkan turunan dengan lebih cepat. Sehingga akan memudahkan kita dalam menentukan turunan suatu fungsi. Tetapi kita juga sangat perlu untuk memperhatikan syarat-syaratnya. Yaitu fungsi tersebut harus kontinu dan fungsi tersebut monoton murni.


Perlu diperhatikan dalam menentukan turunan dari invers suatu fungsi. Karena disitu terdapat syarat fungsi yaitu harus kontinu dan monoton murni. Terkadang kita tetap melakukan itu padahal fungsi tersebut tidak kontinu. Sehinga perlu adanya ketelitian.

Dan disarankan melihat syaratnya dalam menggunakan suatu teorema. Karena kebanyakan dari kita adalah tergesa-gesa dalam menyelesaikan soal dengan suatu teorema. Padahal soal itu tidak memenuhi syarat di teorema tersebut.


Sekian yang bisa kami sharingkan untuk saat ini. Untuk pembahasan materi lainnya akan kami pisahkan di posting-posting kami selanjutnya. Semoga bisa bermanfaat untuk teman-teman semua.

-Terimakasih-

Referensi Tulisan:
https://dwideasy.wordpress.com/2014/05/18/pengertian-fungsi-dalam-matematika/

http://desiputri3.blogspot.co.id/2013/12/macam-macam-fungsi-berserta-contohnya.html

https://id.wikibooks.org/wiki/Kalkulus/Fungsi

https://www.slideshare.net/FazarOfficial/operasi-pada-fungsi

https://asimtot.files.wordpress.com/2010/05/fungsi-invers-dan-turunan-fungsi-invers.pdf